Tipos de Matrices

Tipos de matrices   Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. A = (aij)m×n    y B = (bij)m×n  son iguales si aij= bij  con i =1,…m ; j =1,….., n Matriz Fila[..] Es una matriz constituida por una sola fila, m × 1 una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m. Es un vector y se escribe con minúsculas (a,b,c ,v etc), están dados por; El vector fila de la matriz A. Ejemplo M-6 Los cuatro 04 vectores filas de la matriz A. Matriz Columna [:] Similarmente, los vectores columna de la matriz A, 1 x n. Es una matriz con una sola columna, están dados por M-7 El vector columna de la matriz A. Ejemplo M-8 Los cuatro 04 vectores columnas de la matriz A Matriz Cuadrada [::] La que tiene el mismo número de filas que de columnas. Siendo su dimensión n x n. n = m y se dice, entonces que la matriz es de orden n: M-9 La matriz cuadrada Anxn.  Los elementos de la forma ai,i  constituyen la diagonal principal. M-10 La traza de una matriz cuadrada A4x4. Se llama traza de la matriz A. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j=n+1

Traza de una Matriz Cuadrada [::] En una matriz cuadrada A = (ai,i)n×n , la traza de A es la suma de los elementos que forman la diagonal de la matriz. La traza de la matriz A se denota por tr(A) . Es decir,
Ejemplo Una matriz cuadrada de orden 4, tiene las entradas ai,i  en  la diagonal principal, de la matriz 4*4, formados por los coeficientes  a11 = 9, a22 = 4, a33 = 11, a44 = 10 es decir  { 9, 4, 11, 10}.
Las matrices cuadradas se utilizan a menudo para representar transformaciones lineales simples, como el cizallamiento o la rotación. La siguiente tabla muestra varias matrices de 2 por 2 con los mapas lineales asociados de R2. El original azul se asigna a la cuadrícula y las formas verdes. El origen (0,0) está marcado con un punto negro.

M-12 Las matrices cuadradas se utilizan a menudo para representar transformaciones lineales.

  

Matriz Transpuesta

Sea An×n una matriz. La matriz transpuesta de A , es la matriz Bn×m definida por La transpuesta de A se denota por AT. Es decir, que las filas de A pasan a ser las correspondientes columnas de AT . Ejemplos: En estas secuencias hacemos la transposición de A

Propiedades para la transpuesta de una matriz

a. (A^T)^T = A

b. (kA)^T = kA^T , k es un escalar

c. (A+B)^T =A^T+ B^T

d. (AB^T) =B^TA^T

Siempre y cuando las operaciones indicadas se puedan realizar.

e. Si A es una matriz cuadrada, entonces

tr(A)= tr(A^T)

Es decir, la traza de una matriz cuadrada es igual a la traza de su transpuesta.

Matriz Identidad En álgebra lineal, la matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido) no tiene ningún efecto. La columna i-ésima de una matriz identidad es el vector unitario ei de una base vectorial inmersa en un espacio Euclídeo de dimensión n. Toda matriz representa una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. La matriz identidad se llama así porque representa a la aplicación identidad que va de un espacio vectorial de dimensión finita a sí mismo. Existencia de la Identidad La matriz identidad de orden n , denotada por In , es la matriz cuadrada n×n definida por Es decir, la matriz identidad, tiene “unos”en la diagonal y ceros fuera de la diagonal principal.   Matriz Diagonal

Una matriz cuadrada es diagonal si tiene nulos todos los elementos excepto los de la diagonal principal, de la forma: Sea A = (aij) n×n   una matriz cuadrada. A es una matriz diagonal si   aij = 0 para todo i ¹ j Es decir, todos los elementos por fuera de la diagonal principal son iguales a cero. Ejemplo Matriz Triangular Una matriz que es triangular superior o triangular inferior, se llama matriz triangular. Observación Una matriz diagonal es tanto triangular superior como triangular inferior. Matriz Triangular Inferior Una matriz cuadrada es triangular inferior si tiene nulos todos los elementos que están por encima de la diagonal principal, de la forma:

Sea A = (aij) n×n   una matriz cuadrada. A es una matriz triangular inferior   si  aij = 0 para i<j Es decir, todos los elementos por encima de la diagonal principal son iguales a cero Ejemplo Matriz triangular Superior Una matriz cuadrada es triangular superior si tiene nulos todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal, de la forma: Sea A = (aij) n×n   una matriz cuadrada. A es una matriz superior  si aij = 0 para i>j Ejemplo Matriz rectangular: Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n.

Matriz unidad Una matriz cuadrada es una matriz unitaria, identidad o matriz unidad si todos los elementos en su diagonal principal son la unidad y los demás elementos son 0. Se trata de un caso particular de matriz diagonal, y se representa por I. Igualdad de matrices Es decir, dos matrices del mismo tamaño son iguales si sus elementos correspondientes (elementos de la misma posición) son iguales. A = (aij)m×n    y B = (bij)m×n  son iguales si aij= bij  con i =1,…m ; j =1,….., n Ejemplo Hallar el valor de cada una de las variables x , y , p y q , para que se satisfaga la siguiente igualdad Solución: Aplicando el concepto de igualdad de matrices, se tiene 2x=-6 ; x-y=-1 ; 2/3 p=4 ; p+q=1 de aquí se desprende que; x=-3 , y= -2 , p=6  y q=-5. Matriz cero Una matriz cero o matriz nula es una matriz con todos sus elementos iguales a cero. Algunos ejemplos de matrices nulas son Una matriz cero es, al mismo tiempo, matriz simétrica, matriz antisimétrica, y matriz singular.

Propiedades Si A y 0 son matrices cuadradas de nxn, A cualquiera, se cumple: A+0 = 0+A = A A+ (-A)= -A+ A = 0 Ax0 = 0xA = 0

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                En matemática, la delta de Kronecker es una función de dos variables, que vale 1 si son iguales, y 0 si son diferentes. Se escribe con el  símbolo δ i j {\displaystyle \delta _{ij}\,\!} d_ij   y se usa como una taquigrafía notacional más que como la función definida a trozos: