Operaciones con Matrices

1.  Operaciones con Matrices.   Suma de Matrices [A]+[B] Propiedades de la Suma de Matrices. Propiedad Asociativa en la Suma de Matrices Resta de Matrices [A]-[B] Propiedad Conmutativa de la Suma Producto por un Escalar k[A] Propiedades del Producto por un Escalar Producto de Matrices [A]x[B] Propiedades del Producto de Matrices Potencias Enteras Positivas de una Matriz Cuadrada La Inversa de una Matriz [I]-1 Suma de Matrices [A]+[B] Sean las matrices  A = (ai,j)m×n    y   B = (bi,j)m×n    , entonces la suma de A y B es la matriz; (A+B) = (aij + bij)m×n    con i =1,…m ; j =1,….., n ; es decir 1 ≤ i ≤ m and 1 ≤ j ≤ n. Es decir, para sumar dos matrices, éstas deben tener el mismo tamaño y se procede a sumar los elementos correspondientes. Ejemplos ·    Sumar la Matriz A + B siguiente
Propiedades de la Suma de Matrices. La suma de matrices es una operación que presenta las siguientes propiedades: Conmutativa: A + B = B + A Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento Neutro: A + 0 = A, Si A y 0 son matrices cuadradas de nxn, A cualquiera, se cumple: A+0 = 0+A = A A+ (-A)= -A+ A = 0 Interna: la suma de dos matrices tiene como resultado otra matriz de las mismas dimensiones Ejemplo ·    Hallar la matriz B tal que A+B=C, en donde

Solución:  Aplicando el concepto de igualdad de matrices, se tiene  −4+b11 = −3, entonces b11 = 1   ;    3+b12 = 2, entonces b12 = −1  1+b21 =  −2, entonces b21 = −3 ;  −4+b22 = 4, entonces b22 = 8. Repaso

·    Sumar las matrices A y B ·    La suma de A + B, resulta una matriz unitaria, justifique la respuesta.

Ejemplo ·    Pedro mete el Gol. Es una aplicación de la reflexión de una matriz A, por medio de la suma con una Matriz B. Para hacer esto, se debe organizar en una matriz A, el conjunto de pares de puntos de la grafica y sumarlos con la matriz de reflexión B7x2 (abajo en los datos), que modificará la posición de algunos de los puntos en el eje X,  de los ejes de coordenadas. Esa matriz  resultante C= A+B, mostrará otro conjunto de pares de puntos, que deberán graficarse, Siguiendo estas especificaciones. Trazar 3 líneas uniendo los siguientes pares de puntos (0,6) con (0,0); (0,4) con (1,3) y (0,2) con (1,0). Dibujar 2 circunferencias en los puntos (0,6) de radio 0,4; en el pto (2,1) de radio 1. Solución

Propiedad Asociativa en la Suma de Matrices (A+B)+C=A+(B+C) A, B y C son matrices del mismo tamaño. Resta de Matrices [A]-[B] Sean A y B dos matrices del mismo tamaño. Entonces A−B=A+(−B)
	3−4=−1 8−0=8 4−1=3 6−(−9)=15
Propiedad Conmutativa de la Suma Si A y B son matrices del mismo tamaño, entonces A+B=B+A Es decir, el orden en que se suman las matrices no altera el resultado
Producto por un Escalar k[A] Dada una matriz A = (ai,j)m×n y k un escalar, entonces el producto kA es la matriz kA = (kai,j)m×n        con i =1,…m ; j =1,….., n Es decir, el escalar multiplica a cada elemento de la matriz. Ejemplo
	2×4=8 2×0=0 2×1=2 2×(−9)=−18

Propiedades del Producto por un Escalar Si A y B son matrices del mismo tamaño y k y l son escalares, entonces a. k(A+B)=kA+kB b. (k+l)A=kA+lA c. (kl)A = k(lA) d. 1A = A e. Ax0 = 0xA = 0

Producto de Matrices [A]x[B] Sean las matrices  A =(aij)m×n  y B =(bij)n×p , entonces el producto punto de A•B ò AxB  ò AB = C(cij)m×p C(cij)m×p es la nueva matriz en donde, El producto de matrices requiere de una condición previa muy restrictiva: si A y B son dos matrices, podrán multiplicarse sólo en el caso de que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda. Se dice en este caso que A y B son multiplicables. El resultado es una matriz que tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda. Así, si C es la matriz producto A·B, el elemento cij se obtiene de la siguiente manera: En el producto AB, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B, para que el producto esté definido. Es decir, al desarrollar quedaría así; Las áreas sombreadas son un recordatorio de que la fila j-ésima de la matriz A y la columna k-ésima de la matriz B se combinan para producir el valor del coeficiente cjk en la matriz C del producto.

1º Selecciona la fila i de la primera matriz y la columna j de la segunda. 2º Multiplica el primer elemento de la fila por el primer elemento de la columna seleccionadas. Haz lo mismo con el segundo, tercero, ..., hasta el último elemento de la fila y columna seleccionadas. 3º Por último, suma todos los productos realizados. El resultado de esta suma es el elemento buscado. Ejemplo
A         B (m × n)   (n × p) C m x p
M-10 Nemotécnico para multiplicar una matriz. Los resultados en las posiciones marcadas dependen de las filas y columnas de sus respectivos colores. Resumen Ejemplo

Ejemplo La tienda local vende 3 tipos de pasteles, a un precio. Cuantos vendieron durante la semana?
Las tartas de manzana cuestan    $ 3 cada una   Tartas de cereza cuestan             $ 4 cada una   Las tartas de arándanos cuestan  $ 2 cada una Ahora piense en esto ... el valor de las ventas para el lunes se calcula de esta manera:	Y así es como se vendieron en 4 días:
Valor de pastel de manzana + valor de pastel de cereza + valor de pastel de arándanos $ 3 × 13 + $ 4 × 8 + $ 2 × 6 = $ 83 Así es, de hecho, el "producto punto" de los precios y cuántos se vendieron. En otras palabras, las ventas para el lunes fueron: Pastel de manzana: $3×13 = $39, Pastel de cereza: $4×8 = $32, y Pastel de arándanos: $2×6 = $12. Hacemos coincidir el precio con la cantidad vendida, multiplicamos cada una, luego sumamos el resultado. Y aquí está el resultado completo en forma de matriz. Vendieron para el lunes:$83   para martes:$63  para el miércoles $37  para el jueves:$75 Por eso es importante hacer coincidir cada precio con cada cantidad. Ahora sabes por qué usamos el "producto punto". (Puedes poner esos valores en la Calculadora de Matrices para ver si funcionan). Después de pinchar el link. Espera 5 segundos y luego pincha el recuadro arriba a la derecha SALTAR PUBLICIDAD. http://mondoagram.com/6gFp  Calculadora de Matrices

Ejemplo

 

Ejemplo Se requiere ordenar y graficar los puntos del eje xy, a la izquierda, después de unta rotación en el plano xy. Organizarlos en la matriz A, y multiplicarlos por la matriz de rotación R, con un ángulo de -90º. Representar la matriz rotada B, en el diagrama xy. Dibujar en ambos casos, las siguientes figuras; ·    El pto. (0,0) es el centro de una circunferencia de radio 4. ·    El pto. (1,2) y (1-2) son el centro de una circunferencia de radio 0,4. ·    Los puntos (-1,-2), (-2,0) y (-1,2), van unidos con un trazo de semi arco, con vértice en (-2,0) . Solución

 

Propiedades del Producto de Matrices Sean A, B y C  matrices, y k un escalar. Entonces a. A(BC)=(AB)C (Propiedad asociativa) b. Propiedad distributiva A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC c. k(AB)=(kA)B Siempre y cuando todos los productos estén definidos. d. Si A y B son matrices cuadradas de orden n , entonces tr(AB)= tr(BA)    Una propiedad lo es porque es cierta para todos los casos a los que se refiere. Una "propiedad" deja de serlo si existe algún caso (basta con uno sólo) en el que no sea correcta. Es lo que sucede con la conmutatividad del producto de matrices. Pon un ejemplo de dos matrices A y B tales que los productos A·B y B·A no den el mismo resultado.

 

Ejemplo

Como queda dicho anteriormente, la conmutatividad no es una propiedad por no ser cierta para todos los casos. El hecho de que el producto no sea conmutativo no impide que existan casos particulares en que A·B y B·A den el mismo resultado. Busca algún ejemplo de dos matrices A y B tales que A·B=B·A.

Ejemplo

 Podemos ver que en este caso, A · B ≠ B · A, de hecho ni si quiera tienen la misma dimensión, pues A · B ∈ M_2x2 y B · A ∈ M_3x3.

Potencias Enteras Positivas de una Matriz Cuadrada

En este capítulo vamos a tratar de exponer distintas técnicas para hallar las potencias naturales de matrices cuadradas. Esta cuestión es de gran importancia y tiene muchas aplicaciones prácticas.

Como vamos a poder observar el cálculo de potencias de matrices cuadradas lleva consigo un n numero muy elevado de operaciones. Es conveniente encontrar estrategias adecuadas que nos permitan calcular de modo eficiente las potencias naturales de matrices cuadradas. Empezamos con este primer ejemplo en el que utilizaremos el método de inducción.

Si A_nxn es una matriz cuadrada y k es un entero positivo, entonces

En donde I es la matriz identidad del mismo orden de la matriz A.

     

Ejemplo

 
Ejemplo

 En general, se tiene que

, en donde n es un entero positivo.

La Inversa de una Matriz [I]-1 Definición Sea A una matriz cuadrada de orden n. A es una matriz no singular o invertible si existe una matriz B tal que AB = BA = I. La matriz B se llama la matriz inversa de A. Ejemplo Las matrices son inversas entre sí, ya que concluye en una matriz Identidad. Propiedades A · A−1  = A−1 · A = I La inversa de un producto de matrices es igual al producto de las inversas de las matrices pero cambiado de signo- 1.      (AT)-1 = (A-1)T Sea una matriz invertible, entonces la inversa de su traspuesta es igual a la traspuesta de la inversa: 2.     (A · B)−1 = B−1 · A−1 3.     (k · A)−1  = k−1 · A−1 4.     (AT)-1 = (A-1)T Las matrices inversas se calculan como el adjunto de la matriz entre su determinante (si este es distinto de cero):  (A)-1 = Adj (A) / |A|

Ejemplo