Matrices Cronología y Conceptos Básicos
Teoría y aplicaciones sobre
Matrices.
Escrito por el Prof. Ingeniero Guevara W. Pedro
15 11 2018 última actualización
Indice de Contenido
Concepto de Matriz
Notación
Entradas
Tipos de matrices
Matriz fila[..]
Matriz columna [:]
Matriz cuadrada [::]
Matriz transpuesta
Matriz Identidad
Matriz diagonal
Matriz triangular
Matriz triangular inferior
Matriz triangular superior
Matriz rectangular:
Matriz unidad
Igualdad de matrices
Matriz cero
Operaciones con Matrices
Suma de matrices
Propiedad Asociativa
Resta de matrices
Existencia de la Matriz Opuesta
Propiedad Conmutativa
Producto por un Escalar
Producto de Matrices
Cronología1
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Año
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Acontecimiento
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200 a.C.
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En China
los matemáticos usan series de números.
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J. J. Sylvester
introduce el término «matriz».
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Cayley
publica Memorias sobre la teoría de matrices.
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Frobenius
demuestra resultados fundamentales en álgebra matricial.
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Heisenberg
utiliza la teoría matricial en la mecánica cuántica
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Cronología |
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Año
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Acontecimiento
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II y III a.C.
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Los orígenes de las
matrices y determinantes se encuentran entre los siglos II y III a.c. No nos
debe sorprender su relación con el estudio de sistemas de ecuaciones
lineales. En escritos babilonios aparece, sobre el 300 a.c. enunciados del
tipo[1]:
"Tenemos dos campos con un
área de 1800 yardas cuadradas. Uno produce grano en razón de 2/3 de celemín
por yarda cuadrada, mientras que el otro lo hace en razón de ½ de celemín por
yarda cuadrada. Si el total de la cosecha es de 1100 celemines ¿qué
dimensiones tienen los campos?"
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200-100
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En China los matemáticos usan series de números.
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Entre los años 200 y 100
a.c. aparece en China el libro
"Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático”, escrito durante la dinastía
Han, que da el primer ejemplo conocido de método matricial. El problema es
parecido al anterior.
Los cuadrados
latinos y los cuadrados mágicos[2] se
estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra
en la literatura china hacia el 650 a.
En la antigua China ya se conocían los cuadrados mágicos
desde el III milenio a. C., como dice el Lo Shu.2
Según la leyenda, un cierto día se produjo el desbordamiento de un río; la
gente, temerosa, intentó hacer una ofrenda al dios del río Lo (uno de los
desbordados) para calmar su ira. Sin embargo, cada vez que lo hacían,
aparecía una tortuga que rondaba la ofrenda sin aceptarla, hasta que un chico
se dio cuenta de las peculiares marcas del caparazón de la tortuga, de este
modo pudieron incluir en su ofrenda la cantidad pedida (15), quedando el dios
satisfecho y volviendo las aguas a su cauce.
Es larga la historia
del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales.
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El Arte Matemático.
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Un importante
texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve
capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer
ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de
ecuaciones simultáneas.
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En el capítulo séptimo,
"Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por
primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés
Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693[1].
Los
"cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes,
posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron
tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros
aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea
provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6
aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza
(Rasa'il Ihkwan al-Safa).
Después del
desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz para
facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII,
Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich
Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el
siglo XIX.
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1683 b.C
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La idea de determinante aparece en Japón y Europa,
más o menos, al mismo tiempo.
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1850 b.C
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En primer lugar, el japonés Seki[2],
en 1683, escribe "Método para resolver los problemas disimulados" que
contiene métodos escritos en tablas matriciales. Seki introduce los
determinantes y da un método general para calcularlos, basado en ejemplos.
Usando su "determinante", encuentra los determinantes de matrices
de 2x2, 3x3, 4x4, 5x5 y los aplica para resolver ecuaciones aunque no
sistemas de ecuaciones lineales.
En el mismo año, 1683, Leibniz escribe a L’Hôpital, y le expone
que el sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas:
J. J. Sylvester[3]
introduce el término «matriz». En Noviembre de 1850, Sylvester publica en el "Cambridge
and Dublín Mathematical Journal" su memoria titulada "On the
intersection, contacts and other correlations of two conics expressed by
indeterminate coordinates" sobre
las distintas intersecciones de dos cónicas.
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Matemático Seki.
"Método para resolver los problemas disimulados".
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[1] Evolución Histórica del
Concepto de Matriz. Antonio Rosales Góngora. Derechos Reservados © 2009 Revista
digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate
)
[2] Selin,
Helaine. (1997). Encyclopaedia of the History of Science,
Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, p. 890
Estas, habían sido estudiadas por Plücker en 1828,
Sylvester utiliza el cálculo de determinantes en lugar del método analítico
desarrollado por Hachette y Poisson (1802) y por Cauchy o Biot en 1826.
En este artículo Sylvester utiliza la caracterización hecha por
Cayley de la intersección de dos cónicas U y V formando un cuadrángulo con
tres pares de lados y cuatro vértices (se sabe que dos cónicas proyectivas se
cortan en cuatro puntos como caso particular del teorema de Bezout en el que
dos curvas proyectivas complejas de grado m y n se cortan en mxn puntos).
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1858
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Leibniz usó el término "Resultante" para ciertas sumas
combinatorias de términos del determinante e incluso, estudia sistemas de
coeficientes de formas cuadráticas, que lo empujaron hacia las matrices. No
obstante, fue Maclaurin quien, en su libro póstumo, Treatise of Algebra (con
resultados obtenidos probablemente en el año 1729, y publicados en 1748) usó
el método de los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales
con 2, 3 y 4 incógnitas (con 4, dejó planteado o sugerido el método). Aquí se
encuentra la llamada "regla de Cramer".
En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices.
Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de
escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Cayley publica Memorias sobre la teoría de
matrices.
Es conocida la relación, iniciada en 1846, entre Sylvester y Cayley. A principios de 1850 se encuentra en plena efervescencia su colaboración en la teoría de invariantes. Cayley adopta por primera vez la noción de matriz en un artículo publicado en 1855[1] en "Le Journal de Crelle" titulado "Remarques sur la notation de fonctions algebraiques" . En este artículo, Cayley representa el sistema: 
[2] Timothy Gowers; June Barrow-Green;
Imre Leader (8 de septiembre de 2008). The Princeton
Companion to Mathematics. Princeton University Press. p. 607.
ISBN 978-0-691-11880-2.
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1858
1878
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Como hemos visto, las nociones de matrices y menores se introducen
para caracterizar las intersecciones de dos cónicas o cuádricas mediante la
descomposición de un determinante en menores. Cuando se trata de generalizar
el método a situaciones en las que intervienen más de tres o cuatro
variables, se plantea el problema de enumerar las diferentes descomposiciones
posibles. Este problema es el que motiva el interés de Cayley por la noción
de matriz, y el que suscitó la publicación de tres artículos sucesivos, en
1855 en "Le Journ al de Crelle", titulados "Sobre la
transformación de una función cuadrática en ella misma por sustituciones lineales",
"Notas sobre la notación de las funciones algebraicas",
"Investigaciones sobre las matrices cuyos términos son funciones
lineales de una sola indeterminada"
En 1858 las matrices eran consideradas simplemente como notación,
cómodas pues permitían distinguir un objeto como un sistema lineal o una
forma cuadrática de su determinante. La publicación, este año, de "Memoria
sobre la teoría de Matrices" supone una evolución del punto de vista de
Cayley sobre esta noción matricial.
Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius, Olga Taussky-Todd y
John von Neumann cuentan entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre
la teoría de las matrices. En 1925, Werner Heisenberg redescubre el cálculo
matricial fundando una primera formulación de lo que iba a pasar a ser la
mecánica cuántica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de
la mecánica cuántica.
Entre la publicación de la memoria de 1858 y 1890 el término matriz
desaparece casi por completo de los escritos matemáticos. Durante este
período el término menor, introducido por Sylvester, es adoptado por
numerosos matemáticos como Hermite, Jordan, Darboux, e incluso Poincaré. El
mismo Riemann utilizó en 1857 la idea de matriz de Sylvester para representar
sistemas de ecuaciones diferenciales y extraer sus menores. Sin embargo,
entre 1890 y 1900 reaparece, en numerosas citas, la memoria de 1858 como
texto fundador de un álgebra asociativa de matrices, ¿qué evolución del
concepto de matriz se ha producido en esta época?
Treinta años separan la definición de matriz como madre de menores y
su reaparición en la obra de Sylvester con ocasión de una nota en
"Comptes Rendus del’Academie des Sciencies" fechada en febrero de
1882[1]. Frobenius demuestra resultados
fundamentales en álgebra matricial.
La eliminación de Gauss Jordan[2],
llamada así en honor de Carl Friedrich Gauss y Wilhelm
Jordan es un algoritmo del álgebra lineal que se usa para determinar las
soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, para
encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el
método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del
sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la
anterior.
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El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz
triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de
transformación hasta obtener una matriz diagonal.
Olga Taussky-Todd (1906-1995),
durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el
fenómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.
Hemos visto la evolución de matriz en el tiempo. En los años 1850, la
matriz como madre de menores de Sylvester y la matriz de Cayley eran nociones
distintas y suponían, por una parte, la práctica diferente de extracción de
menores de un determinante y el cálculo simbólico por otra. Además, eran
utilizadas en contextos diferentes, las matrices de Sylvester estaban
relacionadas con el problema de la multiplicidad de las raíces de una
ecuación obtenidas al calcular un determinante; las de Cayley apuntaban hacia
la expresión polinomial de funciones. Racionales de homografía, en la
tradición de la escuela algebraica inglesa. Siguiendo los trabajos de
Sylvester entre 1882 y 1885 vemos como la noción de matriz evoluciona en un mismo
autor.
La síntesis teórica de Weyr en 1890 basada en el encuentro de la
práctica matricial y la teoría de formas bilineales, pone de manifiesto como
se enriquece una con otra. Weyr construye una nueva identidad entre matrices
y formas bilineales, para lo cuál la noción de matriz de Cayley evoluciona,
se enriquece y cambia de significado
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[2] Timothy Gowers; June Barrow-Green;
Imre Leader (8 de septiembre de 2008). The Princeton
Companion to Mathematics. Princeton University Press. p. 607.
ISBN 978-0-691-11880-2.
[1] On the
relations between the minor determinants of linearly equivalent quadratic
function , Philosophical Magazine, (4), vol.1 pag 296-
[1] S. Athloen and R. McLaughlin,
Gauss-Jordan reduction: A brief history, American Mathematical Monthly 94
(1987) 130-142.
[2] https://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_m%C3%A1gico
Este libro es una actualización de los conceptos que todo maestro debería leer
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1. Concepto de Matriz
Se denomina matriz a todo
conjunto de números, variables o expresiones matemáticas, dispuestos en forma
cuadrada o rectangular, que son establecidas
por filas y columnas.
Cada uno de los espacios individuales donde están
estos números, variables etc, de lo que consta la matriz, se denomina
elemento. Estos son ai y aj.
Un elemento se distingue de otro por la posición
que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.
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M-1. Un elemento ai y aj pivote de esta matriz, sería a1,1. El primer elemento de la primera fila y la primera
columna.
|
En la figura M-1, un
elemento ai y aj pivote de
esta matriz, sería a1,1. El primer elemento de la primera fila y la
primera columna.
m×n Es el número de filas y
columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.
Notación
El
conjunto de matrices de m filas
y n
columnas se denota por la letra
mayúscula A.
y los elementos de la
matriz A son (ai,j)m×n .
En donde el elemento genérico ai,j representa el elemento de la matriz que está en la
fila i y en la columna j.
La anterior matriz se
puede expresar como A = (ai,j)m×n
|
|
·
La filas van
de izquierda a derecha
·
Las columnas
de arriba hacia abajo
Para recordar que la filas van antes de las
columnas en el subíndice, Am,n recuerde la palabra Arc,
arco. Ar,c
ó Africa , para
que quede Af,c , ósea Ai,j
.
row = filas = m
columns = columnas =
n
|
M-2 Las columnas
van de arriba hacia abajo.
|
|
Las filas y columnas se describen con las letras
en minúsculas. Así el vector columna b es de rango nx1, es decir 3x1= 3 elementos.
Entradasb2,3 = 8 (la entrada de la fila 2, columna 3 es 8) |
M3-
Vector columna b.
 | |
M-4 Matriz B2x3, con 6 elementos.
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